Diferenciación de funciones Parte 1

Bienvenidos!! Konnichiwa amigos de expreweb. Hoy les voy a hacer valer el eslogan de inteligencia colectiva jajajja . Para todos los que no me conocen soy un estudiante de ingeniería de primer año, este post lo redacte a mano en mi netbook, así que nada de copy paste. La información aquí presentada fue tomada de 2 bibliografías que poseo en formato físico, pero está más basada en la experiencia que en otra cosa, ni siquiera me vi en la necesidad de mirar los libros. Las imágenes que verán son tomadas directamente del geogebra de mi ordenador portátil. Disfruten del post, es la primera de 5 partes. Los que hagan un comentario ridículo o fuera del tema, sin seriedad, serán juzgados por los que estén viendo en este post, son libres de usar los negativos. Pero con conciencia, no fomentando la mala conducta ni el bardo aquí, no es el objetivo de este post, este post está orientado para aquellos que van a ingresar este año a ingeniería para que les sirva de preparación, ojala llegue a ser top post, hablaría muy bien de expreweb. Sin más que decir, disfruten y lean, que no hace mal .

Muchos Problemas importantes concernientes al análisis matemático dependen de encontrar una recta tangente a la grafica de una función en un punto específico.
Esto hace posible el cálculo de problemas como la determinación de la velocidad instantánea de un objeto en movimiento sobre una superficie plana, también hace posible calcular la variación de volumen de una determinada figura, en caso de existir. También hace posible calcular el costo marginal de unidades que exceden al inicial de fabricación de un producto, por ejemplo, si fabricamos unas 50 sillas, y el costo disminuye con cada unidad que le sumamos, este está dado por una función.
Vamos a indagar un poco en el tema Movimiento rectilíneo.
Supongamos que el movimiento rectilíneo de un objeto esta dado por x^2 +x + 5

Tomemos un determinado instante, siendo x el instante en segundos y f(x) su ubicación en cm. Fijémonos que pasa para x=0 hasta x=5. Analicemos los instantes y calculemos la velocidad promedio.
X=0 f(x)=5 y para x=5 f(x)=35 . Como la velocidad promedio está dada por la posición y el intervalo de tiempo, entonces 35/5 = 7cm/seg.
Pero nos damos cuenta enseguida que la velocidad promedio no tiene ninguna relevancia en el cálculo, puesto que no nos dice nada acerca de la partícula a saber: si esta se está moviendo siempre a la misma velocidad, si en algún momento se detiene, si cambia de sentido en algún momento.
Ahora bien, si nosotros usamos el criterio de derivación, la idea es encontrar la velocidad de la partícula en tan solo un instante dado. Para llegar a eso vamos a tener que acercar los instantes en un intervalo cada vez más pequeño. Por ello se insta al lector de este post a leer y tomar referencia del concepto de límite (no necesariamente un enfoque riguroso, solo la noción básica.
Como el lector aun no sabe sobre la derivación, derivaremos la función anterior para el lector. Derivada de f(x)= 2x + 1.
Ahora, si nosotros usamos esta derivada para un instante dado, nos dará la velocidad instantánea de la partícula en movimiento.
Derivada en (x=0)= 1 por lo tanto la velocidad instantánea de la partícula es de 1cm/seg.
Ahora vemos claramente que difiere totalmente de la velocidad promedio que nosotros habíamos calculado al principio.
Este resultado se hará más evidente a medida que nosotros probemos cada instante en segundos del intervalo anterior.
Si en algún caso la derivada en un instante dado es igual a 0, eso nos estará diciendo que la partícula está en reposo, que no tiene velocidad alguna en ese instante. Y si es negativa antes de ese instante, y positiva luego de ese instante, o viceversa, eso nos quiere decir que la partícula cambió su sentido.
Esta es una de las aplicaciones básicas de la derivación.
Y aqui viene lo bueno

Volvamos al tema principal, derivación. Como bien mencionamos en un principio, la derivada es un problema de tangentes, por lo que explicaremos que es una recta tangente.
Una recta tangente es una recta que corta a una circunferencia en tan solo un punto de su grafica, o dicho de otro modo, solo roza la gráfica en un punto especifico.
Procederemos a explicar geométricamente el concepto de derivada.
Partiremos de la recta secante a 2 puntos, A y B, de una gráfica de una función común, como apreciaremos en esta gráfica.


La formula de la pendiente de esta recta secante a 2 puntos de la gráfica está dada por:
(f(b)-f(a))/b-a. Las variables a y b no representan ningún valor especial, solo las coordenadas de los puntos.
Ahora, ¿qué sucede si el punto B se acerca cada vez más al punto A o al revés?
Véanlo ustedes mismos.




¿Qué paso? Bueno, es evidente que cuando B tiende a A entonces la recta que antes era secante, ahora empieza a acercarse a ser una recta tangente.
Entonces, acá introducimos la idea de límites. Si nosotros usamos a a y b como las coordenadas del eje x y a f(a) y f(b) como las coordenadas del eje y, entonces tenemos que el punto A= (a, f(a)) y el punto B= (b, f(b)). Y usando la formula de la recta secante anterior, tenemos que:
Mtang= lim b->a(b tiende a a) de (f(b)-f(a))/(b-a)
(M representa la pendiente).
Esta ecuación se puede escribir de otra manera más sencilla con el fin de hacer demostraciones haciendo un cambio de variables:
b-a=h entonces b= a+h y entonces:
mtang= lim h-->0 de (f(a+h)-f(a)) / h
y así nos quedara la formula que viene en todos los libros de calculo: lim h-->0 de (f(x+h)-f(x)) / h

Ahora, para cerrar esta primera parte de Diferenciación, pondremos un ejemplo ilustrativo y algunos ejercicios para el lector, con el fin de abrir su mente y prepararse para lo que se viene en la segunda parte :3 (van a morir muajajjajajajja )
Ejemplo ilustrativo 1: Sea f(x)= x^2 calcular f'(x)(derivada de f(x) ) Usando la definición.
1. lim h-->0 ((x+h)^2 -x^2 ) / h = lim h-->0 (x^2 +2xh +h^2 -x^2) / h.
2. Ahora bien, el termino x^2 se cancela, quedando=lim h-->0 (2xh+ h^2) /h
3. Ahora, como en la suma tenemos los 2 terminos con h, solo sacamos ese factor común para cancelarlo con el denominador. Lim h-->0 h(2x+h) / h.
4. Ahora si cancelamos eltermino h del numerador con el del denominador listo, nos queda 2x+h , y como h-->0 entonces f'(x)= 2x.

Este es un ejemplo sencillo de cómo usar la definición, ahora se remite al lector a resolver los siguientes ejercicios(son poquitos).

Calcular f'(x) para cada caso usando la definición:
a) (x+5)
b) –x+6
c) x^3 + x +1
d)x^2 - x +1

Bueno, eso fue todo por ahora, recuerden recomendar este post y si les gusto, puntúen, eso sirve siempre de estimulo para seguir posteando.
Adelanto de lo que se viene en la segunda parte:
-Teoremas sobre la diferenciacion para suma y resta, constante por funcion, teorema para funciones polinomicas de exponente positivo, negativo y fraccionario. Derivada de producto y cociente, todo con sus debidas demostraciones.

Un saludo grande! Hasta luego.
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